(۳- ۷۴)
(۳- ۷۵)
با جانشینی معادله (۳- ۷۴) در معادله (۳- ۷۲)، و مرتب کردن معادله بر اساس کاهش توان سری (ωi) و مساوی قرار دادن هر مؤلفه از ماتریس ضرایب برابر با صفر، یک سری برای تعیین ماتریسهای ضرایب بدست میآید. اولین مؤلفه آن برابر است با:
(۳- ۷۶)
با انتخاب سطرهای مثبت هر مؤلفه در قطرهای خواهیم داشت:
(۳- ۷۷)
رابطه (۳- ۷۷) را در معادله (۳- ۷۵) جایگذین میکنیم. در نتیجه ماتریس میرایی معین مثبت به صورت زیر تعریف میشود:
(۳- ۷۸)
بنابراین همانطور که لازم بود، حوزه نامحدود به صورت یک صادر کننده انرژی عمل میکند. با استفاده از معادله (۳- ۷۷)، دو ماتریس ضرایب دیگر نیز به صورت زیر بدست میآیند:
(۳- ۷۹)
(۳- ۸۰)
(۳- ۸۱)
(۳- ۸۲)
با استفاده از معادلات (۳- ۷۵) خواهیم داشت:
(۳- ۸۳)
(۳- ۸۴)
در عمل، مقدار سختی دینامیکی در یک فرکانس بالای مشخص با استفاده از بسط مجانب معادله (۳- ۶۷) تقریب زده میشود . سپس از آن به عنوان یک مقدار شروع کننده برای انتگرالگیری از معادله سختی دینامیکی المان محدود با مرز مقیاس شده (معادله (۳- ۶۶)) استفاد میشود. به این ترتیب مقدار سختی دینامیکی برای سایر مقادیر ω بدست میآید. در این پایان نامه انتگرالگیری عددی به روش بلریش- ستر انجام گرفته است []، این یک روش عددی صریح، برای انتگرالگیری از معادلات دیفرانسیل معمولی میباشد. این بهترین روش برای بدست آوردن راهحلهای دقیق با کمترین میزان محاسبات برای توابع یکنواخت میباشد. بازیار و سانگ (۲۰۰۶) ، بجای سری توانی از سری پده، که برای فرکانسهای پایینتر دقت بیشتری دارد استفاده کردند. در سری پده، تقریب به صورت خارج قسمت یک چندجملهای، به چندجملهای دیگر میباشد. تا اینجا معادله (۳- ۶۶) حل شد و ماتریس بدست آمد. در بخش بعد به سراغ معادله المان محدود با مرز مقیاسشده در حوزه زمان میرویم.
معادله المان محدود با مرز مقیاس شده در حوزه زمان
در قسمت قبل محاسبه ماتریس سختس دینامیکی با استفاده از سری بسط مجانب بیان شد. در این قسمت معادلات روش المان محدود با مرز مقیاس شده در حوزه زمان و برای محیط نامحدود همگن و ایزوتروپ ارائه میشود. در این قسمت ابتدا ماتریس پاسخ ضربه واحد شتاب، سپس تقسیمبندی زمان () محاسبه خواهد شد.
معادله المان محدود با مرز مقیاس شده در پاسخ ضربه واحد شتاب

در قسمت قبل معادلات حوزه فرکانس بر اساس ماتریس سختی دینامیکی تعیین شده بود. در این قسمت، ابتدا معادله نیرو را بر حسب ماتریس سختی دینامیکی شتاب نوشته و سپس با تبدیل سری فوریه به ماتریس پاسخ ضربه واحد شتاب دست یافته و به حوزه زمان وارد میشویم.
معادله نیرو-زمان در حوزه فرکانس به صورت زیر فرمولبندی شده است:
(۳- ۸۵)
در این معادله به ترتیب ماتریس سختی دینامیکی شتاب و دامنه شتاب میباشند. با استفاده از معادله (۳- ۸۵) و (۳-۵۴)، رابطه زیر بدست میآید:
(۳- ۸۶)
معادله اندرکنش نیرو-شتاب در حوزه زمان، به صورت زیر بیان میشود: